TIN TỨC

Tổng hợp các dạng giải bất phương trình bậc 3

Tổng Tổng hợp các dạng giải phương trình bậc 3 và bất phương trình bật 3 giúp cho các em ôn thi tốt môn giải phương trình do trung tam day kem tai nha tphcm chia sẽ.

Cách giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano

Trước tiên, chia phương trình cho α₃ để đưa về dạng

x^3 + ax^2 + bx +c = 0. \qquad (1)

Đặt x = t – a/3 và biến đổi ta có phương trình

t^3 + pt + q = 0,

trong đó

p = b - \frac{a^2}3

và

q = c + \frac{2a^3-9ab}{27}. \qquad (2)

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.

Ta sẽ tìm các số u và v sao cho

u^3-v^3 = q

và

uv = \frac{p}{3}. \qquad (3)

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

t = v - u, \,

có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức

(v-u)^3+3uv(v-u)+(u^3-v^3)=0 \,

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có

v = \frac{p}{3u}.

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

u^3 - \frac{p^3}{27u^3} = q.

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u³. Khi giải, ta tìm được (chứa căn bậc 3)

u=\sqrt[3]{{q\over 2}\pm \sqrt{{q^{2}\over 4}+{p^{3}\over 27}}}. \qquad (4)

Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được

x=\frac{p}{3u}-u-{a\over 3}.

Phương pháp lượng giác và tổng hợp

Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 (a <>0)$

Đặt các giá trị:

$\Delta = b^2-3ac$

$k = \frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}$ $(\Delta <> 0)$

1) Nếu $\Delta > 0$

1.1) |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm

x_1 = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)}{3})-b}{3a}

x_2 = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)}{3}-\frac{2\pi}{3})-b}{3a}

$x_3 = \frac{2\sqrt{\Delta}\cos(\frac{\arccos(k)}{3}+\frac{2\pi}{3})-b}{3a}$

1.2) |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất

x = \frac{\sqrt{\Delta}|k|}{3ak}\left(\sqrt[3]{|k|+\sqrt{k^2-1}}+\sqrt[3]{|k|-\sqrt{k^2-1}}\right)-\frac{b}{3a}

2) Nếu

\Delta = 0

: Phương trình có một nghiệm bội

x = \frac{-b+\sqrt[3]{b^3-27a^2d}}{3a}

3) Nếu

\Delta < 0

: Phương trình có một nghiệm duy nhất

x = \frac{\sqrt{|\Delta|}}{3a}\left(\sqrt[3]{k+\sqrt{k^2+1}}+\sqrt[3]{k-\sqrt{k^2+1}}\right)-\frac{b}{3a}